\documentclass{article}[12pt]
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\usepackage{subcaption}
\usepackage{bigfoot}
\usepackage[all]{hypcap}  %navigate to TOP of figure by clicking on ref
\usepackage[ngerman]{babel}

\title{Asteroiden}
\author{Markus Demleitner, Lucas Ethington, Sonja Gabriel, 
  Florian Freistetter, \\
   Chuanming Mao}
\titlepicture{../res/ErosTitlepic.jpg}
\newcommand{\AU}{\textrm{AU}}

\begin{document}
\maketitle

\begin{abstract}
	In diesem Tutorial werden Sie etwas über Asteroiden lernen,
	ein sehr interessantes und aktuelles Thema in unserer Erforschung des Sonnensystems
	und der Planetenbildung. Sie werden etwas über ihre Bahneigenschaften erfahren,
	indem Sie eine Datenbank abfragen.
	
	Fortgeschrittene Computerkenntnisse werden empfohlen, 
	da das Tutorial die (geführte) Abfrage von elektronischen Online-Datenbanken 
	und die Verwendung von Histogrammen erfordert.
	

\end{abstract}

%\usedsoftware{\Topcat}

\section{Asteroiden im Sonnensystem}

Planeten sind nicht die einzigen Dinge, die unsere Sonne umkreisen. Neben den Planeten
gibt es viele Asteroiden -- Überbleibsel aus der Zeit der Planetenentstehung.

Unsere Sonne war ursprünglich von einer großen Scheibe aus Staub und Gas umgeben. Nach
und nach kollidierten die Teilchen in dieser Scheibe miteinander, begannen
immer größere Objekte zu formen und bildeten schließlich die Planeten, die wir
heute kennen. Allerdings wurde nicht das gesamte Material zur der Entstehung von 
Planeten verwendet.

In den äußersten Regionen des Sonnensystems bildeten sich keine großen Planeten,
und Jupiter stoppte die weitere Planetenbildung im inneren Sonnensystem
mit seinem enormen Gravitationseinfluss.

Im Jahr 1801 beobachtete der Astronom Giuseppe Piazzi ein sich bewegendes 
sternähnliches Objekt.
Zunächst glaubte man, einen neuen Planeten zwischen Mars und Jupiter gefunden zu haben. 
Als jedoch immer mehr Objekte in dieser Region des Weltraums gefunden wurden, 
wurde klar, dass die Astronomen es mit einer
anderen Klasse von Himmelskörpern zu tun hatten, die später als „Planetoiden“ oder
„Asteroiden“ betitelt wurde.
Heute haben wir Hunderttausende von Asteroiden zwischen
den Umlaufbahnen von Mars und Jupiter entdeckt, die den so genannten Hauptgürtel bilden.

Der Hauptgürtel ist jedoch nicht der einzige Ort, an dem Asteroiden zu finden sind.
Im Jahr 1992 wurde ein Asteroid mit einer Umlaufbahn außerhalb der des Neptun
entdeckt. Er war das erste Objekt des „Kuipergürtels“, einer
(zumindest vom Volumen her) viel größeren
Ansammlung von Asteroiden als der Hauptgürtel.

Aufgrund der dynamischen Wechselwirkungen zwischen Planeten und Asteroiden
wurden mehrere Asteroiden aus ihren jeweiligen Gürteln gestreut.
Infolgedessen können Asteroiden fast überall im Sonnensystem entdeckt werden. 


\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=1.5]{../res/Inner_solar_system_objects_top_view_for_wiki.png}}
	\caption{Grafik \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Inner_solar_system_objects_top_view_for_wiki.png}
	{Draufsicht der Verteilung von Asteroiden im inneren Sonnensystems}
	von \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Unmismoobjetivo}
	{Pablo Carlos Budassi} / \href{https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:CC-BY-SA-4.0}{CC-BY-SA-4.0}}
	\label{fig:asteroids}
\end{figure}


Alle Daten über Asteroiden werden verwaltet von 
dem Minor Planet
Center\footnote{\url{https://www.minorplanetcenter.net/iau/mpc.html}}
(MPC) der Internationalen Astronomischen Union (IAU). Diese Vereinigung
von Astronom:innen
archiviert und analysiert alle Beobachtungen von Asteroiden und nutzt die Daten zur
Berechnung derer Orbits und publiziert sie für die wissenschaftliche Gemeinschaft.
Die IAU entscheidet auch, wie die Asteroiden benannt werden.

Auf die große MPC-Datenbank kann über das Virtuelle
Observatorium zugegriffen werden, eine internationales Netzwerk von
Daten-Diensten, die größtenteils öffentlich zugänglich sind. Das
ermöglicht, mehr über die grundlegenden Eigenschaften von
Asteroiden zu erfahren.







\section{Die MPC Datenbank}

Die komplette MPC-Datenbank kann mit verschiedenen Techniken im
Heidelberger Datenzentrum des Deutschen Virtuellen Observatoriums (GAVO) abgefragt werden.

Zunächst kann man mit dem Webformular
\url{http://dc.zah.uni-heidelberg.de/mpc/q/pla/form} von einem
Webbrowser aus die
Datenbank mit den gebräuchlichsten Parametern durchsuchen. Dazu gehören die 
Bahnelemente, die Größen zur Beschreibung der Position und die Form der Asteroidenbahn.

Werfen wir zunächst einen Blick darauf, welche Bahnelemente die MPC-Planetoiden-Datenbank
verwendet.


Die \textbf{große Halbachse} oder auch \textbf{Hauptachse} ist definiert als
die Hälfte des längsten Durchmessers einer elliptischen
Umlaufbahn. Mit anderen Worten gibt sie eine Schätzung der Größe des
Orbits; siehe Abbildung \ref{fig:smajax} für eine Veranschaulichung.
Die zur Messung der großen Halbachse verwendete Einheit ist die Astronomische Einheit 
\AU{}\footnote{engl.: Astronomical Unit}, die früher als große Halbachse der Erdumlaufbahn definiert war. Obwohl
im Jahr 2012 die IAU beschloss, ihr einen festen Wert zu geben\footnote{Die 
Erdumlaufbahn wackelt im Laufe der Zeit leicht, was auch für ihre Hauptachse gilt.
Vor 2012 konnte sich somit der AU-Wert ändern, was für eine Einheit nicht 
sinnvoll ist.}, ist es immer noch richtig, an den „ungefähren Radius der 
Erdumlaufbahn“ zu denken, wenn man \AU{} liest.



\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.4]{../res/semimajoraxis.png}}
	\caption{Große Halbachse („semimajor axis“) und kleine Halbachse
	(„semiminor axis“)}
	\label{fig:smajax}
\end{figure}

Die gemessene \textbf{Exzentrizität} $e$ der ist definiert als die Abweichung von einem 
Kreis und hat einen Wert zwischen 0 und 1, wobei 0 den
Kreis beschreibt und die Umlaufbahn gestreckter wird, je nächer man an
die 1 kommt. Eine Umlaufbahn mit einem Wert größer oder gleich 1 bedeutet, dass der Asteroid das 
Sonnensystem verlässt, weshalb Sie in der Datenbank nichts dergleichen finden werden.

Große Halbachse und Exzentrizität geben Auskunft über Größe und
Form des Orbits.  Wir wissen jedoch noch nichts über die
Lage und Ausrichtung des Orbits. Um diese zu bestimmen, werden drei Winkel benötigt.

Der erste Winkel ist die \textbf{Inklination} $i$. Er beschreibt die relative
Neigung der Bahnebene gegenüber der Ekliptikebene. Die Ekliptik ist
die Bezugsebene, die wir in unserem Sonnensystem verwenden, und sie entspricht der
durchschnittlichen Bahnebene der Erde. Sie ist in Abbildung \ref{fig:incl} skizziert.

\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=1.5]{../res/OrbitalPlanesUno.png}}
	\caption{Inklination: der Winkel zwischen der Ekliptik und der
	Bahnebene („orbital plane“)}
	\label{fig:incl}
\end{figure}

Der \textbf{Länge des aufsteigenden Knotens} $\Omega$ ist der zweite Winkel
 (siehe Abbildung 
\ref{fig:ascnode}). Der Punkt, an dem der Orbit die Ebene der Erdumlaufbahn 
(die Ekliptik)
von Norden nach Süden durchläuft,
wird als absteigender Knoten bezeichnet. Der Wert der Länge des aufsteigenden
Knotens ist der Winkel zwischen den Linien, die die Sonne mit dem Frühlingspunkt 
und dem aufsteigenden Knoten verbindet.
Dieser Frühlingspunkt ist technisch gesehen der Schnittpunkt zwischen dem 
Himmelsäquator und der
Ekliptik; in der Praxis ist es das, worauf sich die Astronomen
als das Äquivalent zu Greenwich am Himmel einigten, also der Punkt, von dem aus die
Längengrade gezählt werden.



\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=1.5]{../res/OrbitalPlanesDos.png}}
	\caption{Länge des aufsteigenden Knotens („longitude of the ascending
	node“); descending und ascending node sind auf Deutsch absteigender
	und aufsteigender Knoten, vernal point der Frühlingspunkt.}
\label{fig:ascnode} 
\end{figure}

Das \textbf{Argument des Perihels} $\omega$ ist der dritte Winkel (siehe
Abbildung \ref{fig:arg}). 
Er ist definiert als der Winkel zwischen den Linien, die die Sonne
verbinden einerseits mit dem 
Perihel (d. h. dem Punkt auf der Umlaufbahn, der der Sonne am nächsten liegt) 
und andererseits dem aufsteigenden Knoten.

\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=1.5]{../res/OrbitalPlanesTres.png}}
	\caption{Argument des Perihels}
	\label{fig:arg}
\end{figure}

Mit diesen drei Winkeln ($i$, $\Omega$, $\omega$) ist es möglich, die 
Position einer Orbitalellipse im Raum eindeutig zu definieren. Wir wissen nun,
wie der Orbit eines Asteroids aussieht, was großartig ist, aber wir wissen immer 
noch nicht, wo sich dieser Asteroid tatsächlich befindet.

Um dies zu bestimmen, gibt es verschiedene Methoden. Die am häufigsten verwendete
ist die mittlere Anomalie. 
Die mittlere Anomalie wird mit Hilfe des „mittleren Objekts“ definiert. 
Das mittlere Objekt ist ein gedachtes Objekt mit der gleichen Umlaufzeit
wie der Asteroid, das zum gleichen Zeitpunkt das Perihel passiert.
Es ist so definiert, dass es eine kreisförmige Umlaufbahn hat, die zu einer konstanten 
Geschwindigkeit auf seiner gesamten Umlaufbahn führt. 


Der Winkel zwischen dem
aktuellen Standort des „mittleren Objekts“ und dem Perihel
die mittlere Anomalie genannt.  Einfacher gesagt: Es ist ein einfach
handhabbares Maß für den Ort des Objekts (das auf seiner Ellipsenbahn
nach Kepler am Perihel schneller läuft als das mittlere Objekt und in
Sonnenferne langsamer).


Die MPC-Datenbank kann anhand all dieser Werte durchsucht werden. Weiterhin
ist es auch möglich, die Datenbank nach der Epoche (dem Zeitpunkt, an dem
diese Werte zum ersten Mal gemessen wurden) und der absoluten Helligkeit\footnote{Das ist 
die Helligkeit, die der Asteroid hätte, wenn er
$1\,\AU$ von der Sonne entfernt wäre und dann von der Sonne aus betrachtet würde.  Da die meisten Asteroiden
nicht so nahe an die Sonne herankommen und niemand von dort aus messen kann, ist dies
ist dies zwangsläufig ein Wert, der aus Beobachtungen unter anderen
Umständen abgeleitet wird.} $H$ des Objekts  zu durchsuchen.





\section{Asteroiden im Webbrowser erkunden}

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, sind die Asteroiden nicht
zufällig im Sonnensystem verteilt.  Die erste Frage, der wir nachgehen wollen, lautet 
also: Wo befinden sich alle Asteroiden in unserem Sonnensystem? Im
Hauptgürtel zwischen Mars und Jupiter sind sehr viele Objekte bekannt.
Um nicht gleich mit großen Datenmengen hantieren zu müssen, sehen wir
erst einmal woanders hin
(siehe in Abbildung \ref{fig:asteroids} eine Skizze des 
Sonnensystems). Die Hauptachse des Mars beträgt 1,52 \AU, die des Jupiters
beträgt 5,2 \AU. Schauen wir uns also außerhalb von Jupiters Orbit um, weit weg vom 
Asteroidengürtel, mit einer Hauptachse zwischen 6 und 7 \AU.

\tutstep[Laden von Daten aus der Datenbank] 
Öffnen Sie dazu die MPC-Datenbank von GAVO in einem Webbrowser:
\url{https://dc.g-vo.org/mpc/q/pla/form}. Dort können Sie
Bedingungen eingeben, um nur die Objekte auszuwählen, an denen Sie interessiert sind. 
Verschiedene
Felder wie \textit{Name}, \textit{semimajor axis}\footnote{engl. für große Halbachse}, 
oder
\textit{eccentricity}\footnote{engl. Exzentrizität} können eingeschränkt werden.  
Die kleinen Links, die mit „?“ beginnen, erklären die Syntax, die Sie hier für die 
Beschränkungen verwenden können; wir
wollen „Werte zwischen $x$ und $y$“, was hier mit zwei Punkten geschrieben wird.


\begin{enumerate}
	\item Geben Sie im Feld \textit{Semimaj. ax.} \verb|6 .. 7| (für
	„große Halbachse zwischen 6 und 7 \AU) ein -- die Leerzeichen sind
	wichtig!
	\item Drücken Sie die Taste \key{Go}, um die Suche zu starten
\end{enumerate}

Daraufhin zeigt der Browser eine Tabelle
mit allen bekannten Asteroiden, die eine große Halbachse zwischen 6 und 7
\AU{} besitzen.  Zum Zeitpunkt der Erstellung dieses 
Tutorials gibt es 75~Asteroiden in diesem Bereich.

Übrigens finden Sie unten auf der Seite auch ein Sortierfeld,
mit dem Sie die Ergebnisse sortieren können, und
ein Limit-Feld, das die maximale Anzahl der zurückgegebenen Datensätze angibt, falls
es viele Übereinstimmungen gibt.  Standardmäßig sind das 100, aber die Zahl kann auf
bis zu 250.000 erhöht werden.  Wenn Sie jedoch ihren
Browser so viele Ergebniszeilen verarbeiten lassen, kann dieser sehr langsam werden
und/oder versagen.  Wir werden später sehen, wie man mit Ergebnismengen dieser Größe 
(die Sie wahrscheinlich gar nicht erst herunterladen wollen) umgeht.
Die folgenden Abfragen sind so gewählt, dass die Anzahl der Treffer unter 10.000 bleibt,
was auf modernen Plattformen die Browser nicht überfordern sollte.




\tutstep[Die Eigenschaften von Asteroiden mit ungefähr 6.5 AU verstehen] 
Es ist schwer, viel zu sehen, wenn man
wenn man auf diese 75 Tabellenzeilen starrt.  Um einen Einblick in das zu erhalten, 
was Sie abgerufen haben, erstellen Sie ein Histogramm.  Um das zu tun, könnten Sie 
die Ergebnisse 
z.B. im CSV-Format herunterladen (siehe „Ausgabeformat“) und eine externe Anwendung verwenden
-- oder Sie können die Option \key{Quick Plot} verwenden, die die
Website anbietet.

Nachdem Sie auf \key{Quick Plot} geklickt haben, wird ein Grafik angezeigt. Mit den
Dropdown-Menüs am unteren Rand der Grafik können Sie einstellen,
was Sie angezeigt haben möchten. Wir wollen zum Beispiel sehen, wie die
Inklinationen, Exzentrizitäten und großen Halbachsen der Asteroiden
verteilt sind:

\begin{enumerate}
	\item Klicken Sie auf \key{Quick Plot}
	\item Wählen Sie im linken Dropdown-Menü eine der Größen (z.B.~\key{Semimaj. 
	ax.} für große Halbachs)
	\item Wählen Sie im rechten Dropdown-Menü \key{Histogram}
\end{enumerate}

Aus den Histogrammen lassen sich interessante Schlussfolgerungen ziehen. Die meisten 
der Asteroiden 
zwischen 6 und 7 \AU{} haben eine eher nicht kreisförmige Orbits (d.h. die 
Exzentrizität $e$ ist ein gutes Stück von 0 entfernt).
In der Verteilung der großen Halbachsen
zwischen 6 und 7 \AU{} kann man nicht viel Struktur erkennen.
Vielleicht gibt es eine Beule bei $6,25\,\AU$, aber das könnte auch Rauschen sein.
Ein Blick auf das Histogramm der Inklinationen zeigt eine ordentliche
Konzentration um die Ekliptik ($i=0$).  Es gibt aber auch eine ganze
Reihe Objekte, deren Bahnen
weit oberhalb und unterhalb der Ekliptik verlaufen 
(zum Vergleich: Merkur, der Planet mit der größten Inklination, hat 
$i=7^\circ$), einige umkreisen die Sonne sogar gegen den Rotationssinn des
Planeten ($i>90^\circ$).


\begin{figure}[h!] 

\begin{minipage}[t]{.5\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[width=.8\linewidth]{../res/quickplot_ecc.png}
\end{minipage}%
\begin{minipage}[t]{.5\textwidth}
	\centering
	\includegraphics[width=.8\linewidth]{../res/quickplot_i.png}
\end{minipage}
\caption{Histogramm der Exzentrizitäten (\textit{links}) und Inklinationen (\textit{rechts})
von Asteroiden mit einer großen Halbachse zwischen 6 und 7 \AU{}.}
	\label{fig:quickplot}
\end{figure}




\tutstep[Vergleich  mit Hauptgürtel-Asteroiden] 
Wie sieht das nun im Hauptgürtels aus?  
Bei Einschränkung auf große Halbachsen zwischen 3,9 und 4,1 \AU~kommen 
noch handhabbare Ergebnisse heraus. Das Verfahren ist dasselbe 
wie zuvor beschrieben, mit dem Unterschied, dass man die Grenze auf bis zu 
10.000 Objekte erhöhen muss. Wenn Ihr Browser wirklich nicht mit so vielen Einträgen 
umgehen kann, 
versuchen Sie es mit einer niedrigeren Grenze -- aber seien Sie sich bewusst, 
dass dies Ihre Ergebnisse
unkontrollierbar verzerrt.

Wenn Sie nun wieder das Hilfsmittel \key{Quick Plot} verwenden und sich die 
verschiedenen 
Verteilungen anschauen, kann man deutlich einen Unterschied zu den Asteroiden 
innerhalb von 6 bis 7 \AU~erkennen.
Die meisten Asteroiden des Hauptgürtels haben eine eher kreisförmige
Umlaufbahn, und in
unserer kleinen Stichprobe von ihnen gibt es eine klare
Dichtespitze um 3,97 \AU. Betrachtet man ihre Bahnneigungen, so 
stellt sich heraus, dass die meisten von ihnen auch viel 
näher an der Ekliptik liegen als die weiter entfernten Objekte. Beachten Sie auch,
dass es viel mehr Asteroiden (derzeit fast 6.000 Objekte) in 
einem sehr viel kleineren Bereich der großen Halbachsen gibt
als bei Asteroiden innerhalb von 6 bis 7 \AU.


All diese Unterschiede sind hauptsächlich auf den 
überwältigenden Einfluss von Jupiter zurückzuführen, der
Objekte auf ungewöhnlichen Bahnen vertreibt und Bahnen freiräumt, die
die Objekte in Resonanz mit Jupiter bringen (d.h. sehr ähnliche
Konstellationen alle paar Umdrehungen, deren Auswirkungen sich summieren).
 
Es wäre schön, ein Gefühl dafür zu bekommen, wie die Asteroiden im gesamten 
Sonnensystem verteilt sind. Betrachten Sie also alle Asteroiden innerhalb 
planetarischer Bahnen,
sagen wir mit einer Hauptachse kleiner als 50 \AU. Geben Sie dazu einfach \verb|< 50| 
in das Suchfeld \textit{Semimaj. ax.} ein.

Wenn Sie die gleiche Suche wie zuvor durchführen, werden Sie gewarnt, dass die
Ergebnisse abgeschnitten wurden -- Sie haben die Treffergrenze überschritten.
Nicht einmal die Höchstgrenze von 250 000 würde alle Treffer liefern - und
der Versuch, dies zu tun, würde wahrscheinlich Ihren Browser lahmlegen.

Wir haben einen Punkt erreicht, an dem man nicht mehr alle Daten für eine lokale 
Analyse herunterladen sollte.  Es braucht ein
spezialisiertes Werkzeug als einen Webbrowser.





\section{Nutzung von TOCAT, TAP und ADQL für servergestützte („Cloud“) Analyse}

\resettutstep

Ein solch spezialisierteres Werkzeug ist TOPCAT.  
Es erlaubt Manipulationen von auch großen Tabellen, kann allerlei Plots
erzeugen, und es
hat Schnittstellen zu zahlreichen Diensten im Virtual Observatory.
Insbesondere erlaubt TOPCAT,
mit der Abfragesprache ADQL (Astronomical Data Query Language) und dem
Table Access Protocol TAP Datenbankanfragen auf Servern in aller Welt
auszuführen.

TOPCAT kann kostenlos heruntergeladen werden\footnote{\url{http://www.star.bris.ac.uk/~mbt/topcat/#install}}.




\tutstep[Finde den Dienst, der die MPC-Tabelle enthält]
Mit TOPCAT können Sie auf die Asteroiden-Daten, die wir eben im Browser
untersucht haben, mit den folgenden 
Schritten zugreifen:

\begin{enumerate}
	\item Öffnen Sie TOPCAT, gehen Sie zum Menü \key{VO}
	\item Wählen Sie dort \key{Table Access Protocol (TAP) Query} (ein neues Fenster öffnet sich)
	\item Im Suchfeld \key{Keywords} tippen Sie \verb|minor planet|
	\item Wählen Sie aus der Liste der passenden TAP-Server “GAVO DC TAP“
	und doppelklicken Sie darauf
	\item Im Suchfeld \key{Find} tippen Sie \verb|mpc|; Sie können dann
	die Tabelle \verb|mpc.mpcorb| auswählen und etwa im
	\key{Columns}-Reiter ansehen, welche Spalten die Tabelle hat
\end{enumerate}


\tutstep[Eine erste Abfrage starten]
Nun können Sie ADQL-Anfragen in das Textfeld am unteren Rand eingeben,
um die Asteroidendaten zu analysieren.
Die Spalten der mpcorb-Tabelle finden Sie im Bereich \key{Columns}; hier finden 
Sie Beschreibungen zu allen Größen, die Sie in Abfragen verwenden können.

Beginnen wir mit einem kleinen Beispiel, um zu lernen, wie man ADQL zum Auswählen 
und Analysieren von Astroiden-Daten verwendet. Wählen Sie am unteren Rand des 
Fensters die 
\key{Examples} $\rightarrow$ \key{Basic} $\rightarrow$ \key{Full table}.
Dies füllt das Textfeld mit einer trivialen Beispielabfrage,

\vspace{0.3cm} \texttt{SELECT TOP 1000 * FROM mpc.mpcorb} \vspace{0.3cm}

In diesem einfachen Fall können Sie ADQL quasi lesen wie Englisch (wo
\verb|*| als „alle Spalten“ zu deuten ist).

Wenn Sie auf die Schaltfläche \key{Run Query} klicken, erscheint eine neue Tabelle 
in der Liste der Tabellen im Hauptfenster von TOPCAT.


\tutstep[Plotten eines Histogramms in TOPCAT] im Hauptfenster
klicken Sie auf das Histogramm-Symbol (oder \key{Graphics} $\to$
\key{Histogram Plot}),
um ein Histogramm zu erzeugen. Wählen Sie im sich daraufhin öffnenden
Fenster die Spalte
\verb|semimaj_ax|, um die Verteilung der Asteroiden für ihre
Orbitgrößen darzustellen.
Es gibt zwar keine Garantie dafür, welche 1000 Datensätze die Datenbank mit der 
obigen ADQL-Befehl auswählt, es ist jedoch ziemlich sicher, dass 
das meiste, was Sie sehen, zwischen 1 und 5~\AU{} liegen wird -- einfach
weil dort fast alle Asteroiden ihre Bahnen haben.


\tutstep[Erhöhung der Anzahl der analysierten Asteroiden durch Aggregation
auf der Serverseite]
Da wir an der Verteilung der großen Halbachse aller Asteroiden in
diesem Bereich interessiert sind, nicht nur an einer mehr oder weniger zufälligen 
Stichprobe von 1000,
\emph{könnten wir} den gesamten Katalog herunterladen und die Übung
wiederholen -- anders als ein Webbrowser käme
TOPCAT damit sogar zurecht.  Es ist jedoch viel effizienter, das Histogramm \emph{auf der Serverseite} zu erstellen und dann nur
das Histogramm herunterzuladen.  Dies ist mit dem ADQL-Konstrukt \verb|GROUP BY| 
möglich:

%We can also reduce the number of returned results by rounding the 
%semimajor axis of the asteroids. For this purpose, type in the ADQL window:

\begin{verbatim}
SELECT ROUND(semimaj_ax*10)/10 AS bin, COUNT(*) AS n 
FROM mpc.mpcorb
WHERE semimaj_ax BETWEEN 1 AND 5 
GROUP BY bin 
ORDER BY bin
\end{verbatim}



In diesen paar Zeilen steckt eine Menge drin -- wie gesagt, in ADQL kann man 
kleine Programme schreiben.  Einige Beobachtungen:

\begin{itemize}

	\item Wir wählen die Daten der großen Halbachsen aller Asteroiden in der MPC-Datenbank mit 
	\verb|SELECT semimaj_ax FROM mpc.mpcorb|.

	\item Mit \verb|... AS bin| fügen wir eine neue, berechnete Tabellenspalte 
	\verb|bin| hinzu,
	die für alle Asteroiden innerhalb eines Bereichs von großen Halbachsen den gleichen Wert haben soll.
	In diesem Beispiel schreiben wir \verb|ROUND(parameter*10)/10|, was bedeutet,
	dass diese Bereiche ein Zehntel einer AU breit sind (d.h.  „von 4,45 bis
	4,55“ - all diese Werte werden auf 4,5 abgebildet).  Verwenden Sie eine größere 
	Zahl als 10, um kleinere Bins und damit eine höhere Auflösung zu erhalten.

	\item Die „Aggregatfunktion“ (will sagen: das ist eine Funktion, die
	mehrere Zeilen zu einem Wert „aggregiert“) \texttt{count(*)} berechnet die
	die Anzahl der Einträge für jede Gruppe.
	Wir speichern dies in einer berechneten Spalte namens \texttt{n}.

	\item \verb|where semimaj_ax between 1 and 5| definiert das zu berücksichtigende 
	Intervall.  Da die Hauptarbeit auf der Datenbankseite erledigt wird,
	könnten wir auch die gesamte Tabelle betrachten.
	Wenn wir uns jedoch auf den Hauptgürtel beschränken, lässt sich das Ergebnis 
	viel einfacher darstellen.

	\item Der Ausdruck \verb|GROUP BY bin| erstellt das Histogramm:
	Er trennt das gesamte Ergebnis in Untergruppen mit identischem \verb|bin| 
	und gibt nur eine Zeile pro solcher Gruppe zurück.  Diesen Trick zu begreifen, 
	ist normalerweise der schwierigste Teil; ein genauer Blick auf das Ergebnis 
	der Abfrage hilft dabei vielleicht ein wenig.

	\item \verb|order by bin| schließlich sorgt dafür, dass die kleinsten Bins
	zuerst kommen.  Das macht die Ergebnistabelle ein bisschen lesbarer.

\end{itemize}

Wenn Sie den obigen ADQL-Code verwenden und \key{Run Query} drücken, 
erhalten Sie eine neue
Tabelle, die Sie nun im Hauptfenster von TOPCAT sehen können. 

\tutstep[Plotten der soeben abgerufenen Histogrammtabelle] Da wir dieses
Mal
bereits aggregierte Werte abgerufen haben (und nicht die vollständige
Tabelle wie zuvor), müssen Sie einige zusätzliche Konfigurationen im
Histogramm-Plot
durchführen.  Klicken Sie also erneut auf den Histogramm-Button 
im Hauptfenster von TOPCAT.  Die Spalte
\verb|bin| sollte bereits ausgewählt sein.  Diesmal müssen Sie jedoch auch
\key{Weight} auf die Anzahl der Elemente in der Bin, \verb|n|, setzen. Das 
Histogramm zeigt dann die Verteilung aller Asteroiden zwischen 1 und 5 \AU. 
Vergleichen Sie die Größen der Tabelle vom ersten Versuch war und der
jetzt heruntergeladenen Tabelle; letztere ist \textit{viel}
kleiner und spiegelt im Gegensatz zur ersten doch die gesamte Tabelle
wider und nicht nur eine zufällige Teilmenge von 1.000 Asteroiden --
möglich ist das, weil wir einen großen Teil unserer Analyse auf die
Serverseite verlegt haben.


\tutstep[Plotten Sie die Dichte im gesamten Sonnensystem]
Um die Sache noch weiter voranzutreiben, können wir auch die Verteilung der Asteroiden 
über das gesamte Sonnensystem betrachten, indem wir die große Halbachse
von 0 auf 50 einschränken (oder vielleicht die gesamte WHERE-Klausel weglassen).  
Dies sollte in etwa
Abbildung \ref{fig:densitysolarsystem} ergeben.



\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.33]{../res/density_solarsystem.png}}
	\caption{Histogramm der Asteroidenverteilung im Sonnensystem}
	\label{fig:densitysolarsystem}
\end{figure}


Um weitere Erkenntnisse zu gewinnen, probieren Sie verschiedene Bin-Größen 
aus (hierzu gibt es einen Schieberegler im \key{Bins} Reiter).
Außerdem ist in dieser Darstellung viel Dynamik vorhanden (das Verhältnis zwischen
dem kleinsten und dem größten Wert ist groß):  Die Dichte zwischen
1 und 5 \AU{} ist so groß, dass die kleinen Dichten im Wesentlichen
unsichtbar sind.  In einer solchen Situation ist es in der Regel eine gute Idee, den
\emph{Logarithmus} des Wertes darzustellen.  Das geht entweder, indem
man die Werte „per Hand“ logarithmiert, oder man verwendet einfach
logarithmische
Achsen.  Mit TOPCAT können Sie letzteres tun:
Gehen Sie zum Reiter \key{Axes} und wählen Sie \key{Y Log}.  So können Sie
die hohe Konzentration im Hauptgürtel und gleichzeitig die
Feinstruktur weiter innen und außen betrachten.


\section{Verschiedene Asteroidengürtel}

\tutstep[Hauptgürtel und Resonanzen] Das Histogramm in Abbildung 
\ref{fig:densitysolarsystem} gibt uns
eine allgemeine Vorstellung davon, wie die Asteroiden verteilt sind. 
Die Details sind jedoch aufgrund des massiven Maßstabs kaum sichtbar.
Um den Hauptgürtel zwischen Mars und Jupiter näher zu untersuchen,
gegen Sie zurück zum Plot zwischen ein und fünf AU (oder erzeugen Sie
eines zwischen 0,5 und 6 AU).

Das Ergebnis sollte in etwa aussehen wie in 
Abbildung \ref{fig:Main_belt_distr}.  Es ist offensichtlich, dass die Asteroiden
sehr ungleichmäßig verteilt sind.  Einige Gruppen von Orbits sind viel stärker
bevölkert als andere.  Zum Beispiel gibt es nicht viele Asteroiden um
2,1 oder 2,5 \AU{}, zwischen 1,9 und 2,4 findet man sehr viel mehr.

\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.33]{../res/Main_belt_distr.png}}
	\caption{Asteroidenverteilung im Hauptgürtel}
	\label{fig:Main_belt_distr}
\end{figure}

Diese Lücken im Gürtel werden als Kirkwoodlücken bezeichnet. Wie bereits erwähnt,
werden sie (vor allem) vom Jupiter verursacht und befinden sich dort, wo alle paar
Umdrehungen der Asteroid und Jupter die gleiche relative Position haben.
Auf diese Weise addieren sich moderate
Gravitationsstörungen und bringen den Asteroiden auf eine
andere Umlaufbahn. An seiner Stelle bleibt dann eine Lücke.

Die Resonanz kann mit Hilfe des dritten Keplerschen Gesetzes berechnet werden: 
\begin{equation}
p^2 = a^3 \quad\text{oder}\quad \frac{p^2}{a^3} = \textrm{const}, 
\end{equation}
wobei $p$ die Umlaufperiode und $a$ die große Halbachse ist. Aufgrund dieser
Proportionalität
brauchen wir die Umlaufperiode der Objekte nicht zu kennen, um die 
die mittlere Resonanz zu berechnen. 


Da das Bestimmen der genauen großen Halbachse für diese
Resonanzen mit dem uns vorliegenden Histogramm schwierig ist, ist es einfacher, die
die große Halbachse aus den Resonanzen zu berechnen; das obige Kriterium
bedeutet, dass sich der Asteroid und Jupiter alle paar Jahre (d.h. alle Umdrehungen) 
treffen.  Mit anderen Worten, ihre Umlaufperioden sind
wie $n:m$ für zwei kleine ganze Zahlen $n$ und $m$, wie z.B.,
4:1, 3:1, 5:2, 7:3 und 2:1.
Mit diesem Wissen können wir $p^2 = a^3$ nehmen und für $p$ lösen, was $p =
\sqrt{a^3}$ ergibt. Um herauszufinden, wo die großen Halbachsen mit Resonanz liegen, 
teilt man die Umlaufsperioden der beiden Körper, 
wobei die größere Bahnperiode in den Zähler eingeht. Daraus ergibt sich
$n/m = \sqrt{a_J^3 / a_A^3}$. Da wir nach der großen Halbachse 
des Asteroiden suchen, lösen wir nach $a_A^3$ und kommen schließlich auf
$$\sqrt[3]{(n/m)^2 \cdot a_J^3} = a_A.$$


Wenn wir die großen Halbachsen für die oben genannten Resonanzen berechnen,
finden wir 1,3, 1,73, 2,08, 2,23 und 2,6.
Finden Sie diese Werte auch in Ihrem Histogramm?

Falls Sie neugierig sind: 
Gibt es Resonanzen an den Positionen der Peaks (siehe Abbildung 
\ref{fig:Main_belt_distr})? 
Und können Sie herausfinden, was es mit dem Peak bei der 1:1-Resonanz
auf sich hat?


\section{Der Kuipergürtel}
\resettutstep

Wir haben oben schon erwähnt, dass es am äußeren Rand des Sonnensystems
einen weiteren Asteroiden-Gürtel gibt: Den Kuiper-Gürtel.  Er ist viel
größer als der Hauptgürtel (rund zwanzig Mal breiter und 100 Mal größer)
-- aber wir haben bisher nur einen sehr kleinen Teil seiner Asteroiden
entdeckt.

Der Kuipergürtel erstreckt sich ungefähr von der Neptunbahn bei $\sim
30\,\AU$ bis hinaus zu etwa $40\,\AU$.
Die meisten Asteroiden dort draußen bestehen vor allem aus Eis und
gefrorenen Gasen wie Methan oder Ammoniak.  Das wahrscheinlich
massereichste und gewiss berühmteste Objekt des Kuipergürtels ist der
Zwergplanet Pluto, der aus historischen Gründen in der MPC-Datenbank
fehlt.

Um einen genaueren Blick auf die Verteilung der Asteroiden dort draußen
zu werfen, passen Sie unsere Abfrage oben auf den Bereich von
37 bis 50 \AU{} an.  Das Resultat:

\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.33]{../res/Kuiper_belt_distr.png}}
	\caption{Asteroidenverteilung im Kuipergürtel}
	\label{fig:Kuiper_belt_distr}
\end{figure}

Auch hier sehen wir ein Muster von Spitzen und Tälern, diesmal aufgrund von
Resonanzen mit Neptun. 

Eine deutliche Spitze ist bei 39,5 AU{} zu finden, einer Gruppe, die Pluto enthält, 
weshalb dieser Gruppe der Name „Plutinos“ gegeben wurde. Noch weiter entfernt, 
zwischen 40
und 50 AU{}, befindet sich, wenn man so will, der Haupt-Kuipergürtel.

Untersuchen Sie die anderen Parameter, die Sie kennengelernt haben: Exzentrizitäten 
und Inklinationen.  Gehen Sie von unserem obigen ADQL-Code zur Erstellung von 
Histogrammen aus und passen Sie die Spalten, die zu durchsuchenden Bereiche, 
sowie die Bin-Größen an. Das Histogramm der Inklinationen sollte beispielsweise 
aussehen wie in Abbildung \ref{fig:Kuiper_belt_inclinations}.



\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.33]{../res/kuiper_inclinations.png}}
	\caption{Inklinationen der Asteroiden des Kuipergürtels}
	\label{fig:Kuiper_belt_inclinations}
\end{figure}


Versuchen Sie schließlich, Abbildung \ref{fig:Kuiper_belt_inclinations2} zu 
reproduzieren, die die Dichten der Asteroiden im Kuipergürtel mit Inklinationen 
von mehr und weniger als 5~Grad darstellt.


\begin{figure}[ht] 
	\center{\includegraphics[scale=0.33]{../res/kuiper_incl_gs5.png}}
	\caption{Histogramm von Kuipergürtelasteroiden über die große Halbachse, wobei 
	zwischen Inklinationen $<5$ in \textit{blau} und $>5$ Grad in \textit{rot}
	unterschieden wird.}
	\label{fig:Kuiper_belt_inclinations2}
	
\end{figure}

Eine Möglichkeit, dies zu erhalten kann man erreichen, wenn man folgende
Abfrage ein Mal unverändert und ein Mal mit umgedrehter Bedigung an
\verb|inclination| ausführt:

\begin{verbatim}
SELECT round(semimaj_ax*10)/10 AS bin, COUNT(*) AS n
FROM mpc.mpcorb 
WHERE (semimaj_ax BETWEEN 25 AND 50) AND (inclination<5) 
GROUP BY bin
\end{verbatim}

Führen Sie dann einen zweiten Durchlauf mit \verb|Inclination>5| durch; dadurch 
erhalten Sie zwei Tabellen, die Sie nun zu einer Darstellung kombinieren müssen. 
Öffnen Sie das Histogramm
wie gewohnt für den ersten Datensatz. Doch dieses Mal
klicken Sie direkt unterhalb des Histogramms auf das 
zweite Symbol von links (kleines Histogramm mit einem grünen „+“), um ein 
weiteres Histogramm zu Ihrer Darstellung hinzuzufügen, welches in der unteren 
linken Ecke mit der Beschreibung \key{\textless no table\textgreater} auftaucht. 
Wenn Sie darauf klicken, 
können Sie die zusätzlichen Daten, die angezeigt werden sollen, über das 
Dropdown-Menü unter \key{Table} auswählen. Wählen Sie Ihren zweiten 
Datensatz und wählen Sie auf der Registerkarte \key{Subsets} eine andere Farbe 
dafür aus.

Wir beobachten, dass die „Plutinos“ im Schnitt eine höhere Inklination als die
Asteroiden im klassischen Kuipergürtel haben, was darauf schließen lässt, dass es 
sich um zwei verschiedene Gruppen von Objekten handelt, die aus ziemlich 
unterschiedlichen
Prozessen entstanden sind.  Und damit sind wir bei recht aktuellen
Forschungsthemen\dots

\vfill \onvott \cczero \eject
\end{document}
